509. Иванова Н.Ю., Орлов А.И. Экономико-математическое. моделирование малого бизнеса (обзор подходов). - Журнал «Экономика и математические методы». 2001. Т.37. №2. С.128-136.

О ПОДХОДАХ 
К ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ
  МАЛОГО БИЗНЕСА

Н.Ю. Иванова, А.И. Орлов 
(Москва) 

Обсуждаются две взаимосвязанные проблемы. Какие экономико-математические методы и модели могут быть использованы руководителем малой организации в своей работе? Какими экономико-математическими моделями можно описывать динамику малых организаций? Авторы используют  свой опыт руководства малыми организациями, обучения малому предпринимательству и научного изучения малого бизнеса.   

	В странах с развитой рыночной экономикой в сфере малого бизнеса занято около 3/4 экономически активного населения и производится более 2/3 ВНП. Малый бизнес не только создает новые рабочие места на основе самозанятости населения и повышает уровень его потребления, но и воспроизводит конкурентную среду, необходимую для нормального функционирования и развития рыночной экономики и формирования ее эффективной антимонопольной структуры.  
	В российской экономике малый бизнес, несмотря на некоторый всплеск в его становлении и развитии к 1995-96 гг.,  до сих пор занимает незначительное (по сравнению с ожиданиями экспертов!) место: доля занятых в сфере малого бизнеса, по нашей оценке, не превышает 10% экономически активного населения, а его участие в создании ВНП -–не более 12-13%. Вместе с тем, обострение социально-экономических проблем в регионах России вследствие неэффективного проведения рыночных реформ по либеральной модели усилило важность государственной поддержки малого бизнеса, как для регионов, так и для федерации в целом. Предприниматели для того, чтобы успешно вести свою деятельность в условиях неопределенности и риска, должны быть лучше подготовлены в области практического применения основных положений теории малого бизнеса с учетом специфики России. Одним из важнейших прикладных направлений в этом отношении, на наш взгляд, является его экономико-математическое моделирование.
	Итак, малое предпринимательство - важная составная часть современной российской экономики. Например, в Москве более 10% населения трудится на малых предприятиях. Поэтому весьма актуальным является изучение сферы малого бизнеса с позиций экономической теории, в частности, методами экономико-математического моделирования [1]. Не менее важно вооружить менеджеров и специалистов, работающих на малых предприятиях, эконометрическим и экономико-математическим инструментарием, полезным для их успешной деятельности.
	Развитие малого предпринимательства необходимо для эффективного функционирования экономики России. Для понимания особенностей этого развития могут оказаться полезными разнообразные экономико-математические модели. Подходам к построению и изучению некоторых из них посвящена основная  часть настоящей  статьи. 
	Насколько нам известно, в отечественной литературе мало работ по экономико-математическому моделированию малого бизнеса. Поэтому мы сочли полезным дать широкую панораму предлагаемых нами возможных подходов к построению экономико-математических и эконометрических моделей, которые могут оказаться полезными для описания динамики развития малых предприятий, а также и управления ими. Поскольку для описания тех или иных проблем малого предпринимательства могут использоваться самые разные виды эконометрических и экономико-математических моделей, то мы сочли полезным рассмотреть достаточно широкий спектр таких моделей, что повлекло довольно краткое  описание конкретных разработанных нами моделей. Однако при этом описание моделей доведено до такого уровня, чтобы  опытный специалист в области экономико-математического моделирования мог при необходимости самостоятельно развить конкретную модель до этапа расчетных формул и численных результатов. Особое внимание мы уделили применению методов статистики объектов нечисловой природы, наиболее актуальных в настоящее время при анализе конкретных экономических данных. 
	Итак, в настоящей статье мы обсуждаем две взаимосвязанные проблемы. Во-первых, какие экономико-математические методы и модели могут быть использованы в работе руководителя малого предприятия? Во-вторых, какими экономико-математическими моделями целесообразно описывать развитие популяции малых предприятий? При этом мы используем три стороны своего личного опыта: опыт руководства малыми предприятиями, опыт обучения малому предпринимательству и опыт научного изучения малого бизнеса.   
1.	Проблемы маркетинга малого бизнеса
	Во всех странах с развитой рыночной экономикой нестабильность малого бизнеса во многом связана с его сильной зависимостью от внешней среды - как от STEЕP-факторов (социальных, технологических, экономических, экологических, политических), так и от факторов конкурентного окружения (в т.ч. - от поставщиков и  потребителей) [2]. Для того, чтобы выжить и занять свою рыночную нишу, малый бизнес должен хорошо ориентироваться и адаптироваться в условиях достаточно высокой степени неопределенности и риска. Это означает, что деятельность малого бизнеса изначально носит рисковый характер [3] , а потому требует прикладного маркетинга. 
	Для снижения степени риска в сфере малого бизнеса требуется высокий профессионализм менеджера малой организации в области управления рыночной  информацией и быстрота реакции в принятии решений при изменении условий внешней среды. То есть как лицо, принимающее решения (ЛПР), менеджер малой организации должен быть одновременно хорошим маркетологом [4,5].
	Маркетинг малого бизнеса имеет особенности. Для того, чтобы малая организация могла выжить и занять свою рыночную нишу, ее маркетинг с самого  начала  должен быть ориентирован не на абстрактные производство и сбыт, а на конкретного потребителя с его индивидуальными запросами. Иными  словами,  приоритетной формой маркетинга малого бизнеса является целевой специализированный маркетинг. Он позволяет сконцентрировать объективно небольшие ресурсы малой организации  на наиболее важном направлении. Однако цена ошибки ЛПР, цена принятия неправильного решения в малом бизнесе многократно возрастает, т.к. у малой организации, как правило, нет финансовых возможностей диверсифицировать свою деятельность и свой риск.
 	Для того, чтобы быстро реагировать на изменения внешней среды, оказывающей сильное воздействие на малую организацию, ее менеджер должен проводить постоянный мониторинг рыночной ситуации по определенным наиболее значимым параметрам (спрос, предложение, цены, товары-конкуренты,  альтернативные технологии и др.). Сбор и оперативное использование такой информации является решающим фактором успеха в маркетинге малого бизнеса при принятии решений. Это требует определенных  знаний и навыков у менеджера по формированию банка данных и работе с маркетинговой информацией. Наиболее доступными для менеджеров малого бизнеса являются экономико-статистические (в современной терминологии - эконометрические) методы и методы математического моделирования, позволяющие (при определенной подготовке менеджеров и наличии программной поддержки) достаточно быстро обрабатывать и использовать оперативную информацию на практике на основе прикладного применения экономико-математических моделей.
2.	Математические методы и модели для решения задач малого бизнеса
	Достаточно известными примерами применения методов экономико-математического моделирования в маркетинге для структурирования и анализа рыночной информации являются модели жизненного цикла товара (фирмы), модели маркетингового комплекса 4р (7р), матрица "Бостон-консалтинг групп", SWOT-анализ, матрица Портера для анализа конкурентов, матрица определения проблемы и др. [3,5]. Они могут быть простейшими инструментами управления маркетингом в малом бизнесе и позволяют достаточно оперативно оценить место и конкурентные преимущества организаций. Вместе с тем возможности экономико-математического моделирования позволяют менеджеру самостоятельно структурировать свою собственную ситуацию и создавать собственные инновационные модели (или варианты типовых моделей с собственными значениями параметров) оптимального поведения на рынке в условиях неопределенности и риска. Так, известная среди маркетологов и менеджеров матрица "Бостон-консалтинг групп" является, на наш взгляд, не двухмерной, а трехмерной моделью, в которой наряду с долей на рынке и темпом роста продаж обязательно должен рассматриваться такой параметр, как прибыль организации.
	При разработке экономико-математической поддержки малого бизнеса необходимы также модели развития малого предпринимательства, в которых на основе вероятностных и имитационных методов производится оценка риска предпринимательской деятельности, и нормативные данные сопоставляются со статистическими данными, характеризующими реальное положение в рассматриваемой области экономики. 
	Методология математического моделирования  позволяет ставить и решать различные задачи, возникающие в маркетинге  малого  бизнеса.  В частности, отметим  задачи анализа и прогнозирования рыночной ситуации, оценки  различных видов рисков.
	Целесообразно разделять экономико-статистические (эконометрические) методы и экономико-математическое моделирование, хотя такое деление и условно. Примером первых (т.е. методов прикладной статистики применительно к конкретным экономическим данным) являются методы выборочного изучения потребителей. Так, в 1994 г. нами были опрошены 500 потребителей и продавцов растворимого кофе, полученные результаты были использованы фирмой-заказчиком при маркетинге, в частности, при планировании рекламной кампании. Технология проведения таких маркетинговых исследований близка к технологии социологических опросов, а также имеет много общего со статистическим управлением качества продукции, в частности, с оценкой качества при сертификации [6]. Однако анализ рыночной ситуации на основе этих методов является для предпринимателей достаточно громоздким и дорогостоящим. Гораздо выгоднее приобрести результаты уже проведенных маркетинговых исследований, выполненных специализированными агентствами или маркетинговыми фирмами. 
	При  экономико-математическом моделировании используются нацеленные на конкретные применения модели. Примерами являются  экономико-математические модели управления запасами [7], с помощью которых удается находить оптимальные размеры поставок и процедуру их поступления. Обычно применение таких моделей позволяет по крайней мере вдвое сократить суммарные издержки [7]. Набор подобных компьютерных моделей должен быть рабочим инструментом менеджера малого предприятия. 
	При математическом моделировании маркетинговых проблем малого бизнеса используют статистические методы и методы экспертных оценок [8], а также методы имитационного моделирования. В настоящее время быстрых перемен в социальной, экономической и политической сферах отсутствуют  достаточно длинные временные ряды экономических данных, и интерес исследователей и практических работников переместился из статистики временных рядов в области теории и практики экспертных оценок.
	 В маркетинговых исследованиях для малого бизнеса большую роль играют факторы нечисловой природы - качественные признаки,  интервальные и нечеткие оценки и др. В их терминах естественно описывать, например, новые и новейшие технологии, ноу-хау, товары, не имеющие аналогов на рынке, кластер инноваций и т.д. Нами развиваются современные методы статистического анализа нечисловых данных [9]. Статистика нечисловых данных (в несколько иной терминологии – статистика объектов нечисловой природы) – новый перспективных раздел прикладной статистики. Он является одним их четырех основных разделов, на которые специалистами делится прикладная статистика, наряду со статистикой случайных величин, многомерным статистическим анализом, статистикой случайных процессов и временных рядов. Оригинальность и эффективность математического аппарата статистики нечисловых данных определяется тем, что он основан на использовании различного рода расстояний между результатами наблюдений в выборочных пространствах, а не операций суммирования, как в остальных трех основных более классических разделах прикладной статистики.
	При изучении предпринимательских рисков, в частности, связанных с осуществлением инвестиционных проектов, необходимо моделировать различные неопределенности будущего и настоящего. Неопределенность описывают с помощью вероятностно-статистических, нечетких, в частности, интервальных моделей. Вероятностно-статистические модели нацелены прежде всего на анализ массовых явлений. Неопределенность единичных событий более целесообразно описывать с помощью нечетких множеств, в частности, с помощью интервальных чисел, задающих нижние и верхние границы для неизвестных в точности параметров. Хотя давно доказано [7], что теория нечетких множеств в определенном смысле сводится к теории случайных множеств, при практическом применении ситуация иная. Математический аппарат теории нечеткости пока еще существенно отличается от вероятностно-статистического инструментария, а также и от аппарата статистики интервальных данных [10].
	При применении математических моделей весьма важным является исследование устойчивости выводов по отношению к допустимым отклонениям исходных данных и предпосылок модели [7]. Только та  модель может быть рекомендована для практического использования, для которой полученные с ее помощью выводы мало меняются  при  подобных отклонениях.
	Нами накоплен определенный опыт применения методологии  экономико-математического моделирования при решении практических задач маркетинга малого бизнеса, в частности, в области товаров народного потребления и производственного назначения, образовательных услуг, а также при анализе и моделировании инфляционных процессов, в сфере налогообложения [11] и др.
	Перейдем к более подробному рассмотрению предлагаемых нами экономико-математических моделей, предназначенных для описания маркетинговой деятельности и жизненного цикла  организаций малого бизнеса.
3.	Маркетинговые модели принятия решений в малом бизнесе
	Для структурирования и анализа рыночной информации могут быть применены предлагаемые нами обобщения таких известных инструментов организации информации для принятия эффективных управленческих решений, как SWOT-анализ и матрица "Бостон консалтинг групп". Эти обобщения позволяют эффективно использовать  современные методы экспертного оценивания, в том числе основанные на применении статистики нечисловых, в частности, интервальных данных.
	В обобщении SWOT-анализа все организации малого бизнеса оцениваются (в количественных или в качественных шкалах) по четырем группам показателей - сильные и слабые стороны, угрозы и возможности. Частные показатели сводятся в групповые, а групповые - в итоговый (обобщенный). Это дает возможность ранжировать и классифицировать конкурентов (например, на весьма опасных, опасных и неопасных). Кроме того, удается отслеживать и моделировать динамику показателей и итоговых оценок хозяйственно-экономической деятельности предприятий. 
	В обобщенной матрице "Бостон консалтинг групп" предлагается использовать трехмерную модель, в которой организация описывается долей на рынке, темпом роста продаж и прибылью. От качественных значений перечисленных переменных переходим к количественным, а также строим итоговый показатель и прогностические правила. 
	Рассматриваемые модели основаны на применении технологии построения единичных, групповых и обобщенных показателей (оценок отдельных сторон деятельности фирм - конкурентов и их экономического положения в целом), развитой нами ранее для решения задач экологического страхования [12]. Компьютерная поддержка этой технологии может быть осуществлена, например, с помощью разрабатываемого нами АРМ МАТЭК - автоматизированного рабочего места организатора экспертного опроса [13]. (Его сокращенное название МАТЭК образовано из начальных букв полного названия “МАТематические методы в ЭКспертных исследованиях”.)
	Теория и практика экспертных исследований и оценок как самостоятельное направление научно-практической деятельности развиваются в нашей стране с конца 1960-х – начала 1970-х годов. В частности, с 1973 г. работает наиболее сильный в этой области неформальный научный коллектив вокруг научного  семинара “Математические методы экспертных оценок  и нечисловая статистика” (сейчас именуется “Экспертные оценки и анализ данных” и проходит в Институте проблем управления РАН). Проведена масса научных исследований, опубликованы десятки монографий и сборников, сотни статей. Направления исследований, связанные с интересами авторов, отражены в [7-9, 14, 15]. Однако до 90-х годов у научных работников не было значимых стимулов стремиться к практическому внедрению теоретических исследований, разрабатывать конкретные методики и компьютерные системы. 
	В настоящее время ситуация изменилась. Возникла масса аналитических и информационно-аналитических центров и подразделений организаций, которым рассматриваемые разработки явно полезны. К сожалению, обычно применяются весьма примитивные методики, у которых есть только два преимущества. Во-первых, они появились в обиходе раньше, во-вторых, из-за примитивности более понятны тем, кто начинает знакомиться с экспертными оценками. Поэтому весьма важно установить контакты между теоретиками и менеджерами аналитических центров, наладить систему обучения. Накопленные теоретиками знания должны быть основой для компьютерных систем, например, таких, как уже упомянутое Автоматизированное Рабочее Место “Математика для экспертизы” (АРМ МАТЭК).
4.	О теории ранжировок и рейтингов и ее применении в малом бизнесе
	Менеджерам малого бизнеса и их сотрудникам постоянно приходится упорядочивать альтернативы при подготовке и принятии решений, т.е. строить и применять ранжировки. В их реальной работе часто появляется и термин “рейтинг”, например, “рейтинг надежности банка”. Ограничимся здесь одним сюжетом, связанным с ранжировками и рейтингами. 
В настоящее время распространены экспертные и социологические опросы, в которых опрашиваемых просят выставить баллы инвестиционным проектам, направлениям работ или исследований, товарам, идеям, проблемам, программам или политикам. Затем рассчитывают средние баллы и рассматривают их как интегральные оценки, выставленные фирмой или обществом в целом инвестиционным проектам, направлениям работ или исследований, товарам, идеям, проблемам, программам или политикам. Мы уже более 25 лет знаем, что такой способ некорректен. Чтобы объяснить, почему это так, необходимо обратиться к теории измерений.
	Сначала эта теория развивалась как теория психологических измерений (см., например, сборник [16]). Первые отечественные  работы, появившиеся в начале 70-х  годов, привели к расширению области применения. Так, Г.А. Сатаров применял теорию измерений к педагогической  квалиметрии. Ряд авторов, в том числе В.Б. Кузьмин, использовал ее в системных исследованиях.  Нам она оказалась необходимой в теории экспертных оценок и для агрегирования показателей качества.  Ю.Н.Толстова применяла ее в социологических  исследованиях. С этими и другими результатами в области теории измерений и ее применений можно познакомиться по публикациям [7,15]). Первоначальный период развития теории измерений в нашей стране завершается переводом книги И.Пфанцагля [17]. Он символизирует окончательное оформление теории измерпний как научного направления, отказ от ограничений на области применения.
	В соответствии с теорией измерений при математическом моделировании реального явления или процесса необходимо прежде всего установить, в каких типах шкал измерены те или иные переменные. Тип шкалы задает группу допустимых  преобразований. Укажем основные виды шкал измерения и соответствующие группы  допустимых преобразований. В шкале наименований (номинальной) допустимыми являются все взаимно-однозначные  преобразования. В порядковой - все строго возрастающие преобразования. В шкале интервалов - линейные возрастающие преобразования. В шкале отношений - подобные (изменяющие только масштаб) преобразования, а для абсолютной шкалы допустимым является только тождественное преобразование.
	Основное требование к алгоритмам анализа данных формулируется в теории измерений так: выводы на основе данных, измеренных в шкале определенного типа, не должны меняться при допустимом преобразовании  шкалы  измерения этих данных (другими словами, должны быть инвариантны по отношению к  допустимым преобразованиям шкалы). Например, выводы на основе цен, выраженных в рублях, не должны отличаться от выводов, рассчитанных по ценам в долларах, если для перевода рублей в доллары использован один и тот же курс.
	Применим это требование при выборе вида средней величины.
5.	Задача сравнения средних величин в малом бизнесе
	Начнем, как и в [7], с понятного всем примера. Какие профессии  предпочитают выпускники школ?  В исследованиях В.Н. Шубкина (Новосибирск, 60-е годы) выпускникам предлагалось оценить профессии баллами от 1 до 10. Затем профессии оценивались средними арифметическими баллов, им приписанных всеми опрошенными. При таком способе сравнения  профессий  оказалось, что выпускники новосибирских школ предпочитали физику математике. Однако в Ленинграде (по данным Г.И. Щукиной) школьники предпочитали  математику, а не физику. В чем причина различий? Возможно, не в объективном различии регионов, а в субъективизме исследователя,  выбирающего  тот или иной метод анализа данных. Выше уже говорилось об иных социально-экономических постановках, в которых возникает аналогичная проблема обоснования выбора вида средней величины. Среди них – постановки, весьма важные для конкретных организаций малого бизнеса.
	Как сравнивать совокупности? Самое простое -  по средним значениям. А как вычислять средние? Известны различные виды средних величин: среднее   арифметическое, медиана, мода, среднее геометрическое, среднее гармоническое, среднее квадратическое. Обобщением перечисленных видов средних величин является т.н. среднее по Колмогорову. А именно, для чисел X1, X2,...,Xn среднее по Колмогорову вычисляется по формуле 
G{ (F(X1)+F(X2)+...F(Xn ))/ n }, 
где F -  строго  монотонная  функция,  G - функция, обратная к F. Если F(x) = x, то среднее по Колмогорову - это среднее арифметическое, если F(x) = ln x, то - среднее геометрическое, если F(x) = 1/x, то - среднее гармоническое, и т.д.
	Общее понятие среднего (по Коши) таково: средней величиной является  любая функция f(X1, X2,...,Xn) такая, что при всех возможных значениях аргументов значение этой функции не меньше, чем минимальное из чисел X1, X2,...,Xn , и не больше, чем максимальное из этих чисел.
	При допустимом преобразовании шкалы значение средней величины, очевидно, меняется. Но выводы о том, для какой совокупности среднее больше, а для какой - меньше, не должны меняться. Сформулируем соответствующую математическую задачу поиска вида средних величин, результат сравнения которых устойчив относительно допустимых преобразований шкалы. Пусть функция f (X1, X2,...,Xn) - среднее по  Коши.  Пусть 
 f (Y1, Y2,...,Yn) <  f ( Z1, Z2,..., Zn).
Тогда  для устойчивости результата сравнения средних необходимо, чтобы для любого допустимого преобразования g  из группы  допустимых  преобразований  было справедливо также неравенство 
f (g(Y1,), g(Y2),..., g(Yn)) < f (g(Z1), g(Z2,),..., g(Zn)),
т.е. среднее преобразованных значений из первой совокупности также было  меньше среднего преобразованных  значений для второй совокупности.  Причем сформулированное условие должно быть  выполнено  для любых двух совокупностей Y1, Y2,...,Yn  и Z1, Z2,..., Zn . Только такими  средними, по нашему мнению, можно пользоваться для анализа данных, измеренных в соответствующей шкале..
	С помощью развитой нами в монографии [7] математической теории удается описать вид допустимых средних в основных шкалах измерения. А именно, из всех средних по Коши в порядковой шкале в качестве средних можно использовать только члены вариационного ряда (порядковые статистики), в частности, медиану (при нечетном объеме выборки), но не среднее арифметическое, среднее геометрическое и т.д.; в шкала интервалов из всех средних по Колмогорову можно применять только среднее арифметическое; в шкале отношений из всех средних по Колмогорову устойчивыми относительно сравнения  являются только степенные средние и среднее геометрическое. Таким образом, в исследованиях В.Н. Шубкина, как и в большинстве современных расчетов рейтингов, применялся и применяется некорректный способ анализа данных.
	Приведем иллюстративный численный пример, показывающий некорректность использования среднего арифметического f(X1, X2) = (X1 + X2)/2 в порядковой шкале. Пусть Y1 = 1, Y2 = 11, Z1 = 6, Z2 = 8. Тогда f(Y1 , Y2) = 6, что меньше, чем f(Z1 , Z2) = 7. Пусть строго возрастающее преобразование g таково, что g(1) = 1, g(6) = 6, g(8) = 8, g(11) = 99. Тогда f(g(Y1), g(Y2)  =  50, что больше, чем f(g(Z1), g(Z2)) = 7. В результате преобразования шкалы упорядоченность средних арифметических изменилась.
	В качестве примера применения приведенных выше результатов отметим, что методы расчета рейтингов “ведущих политиков” на основе усреднения ответов экспертов, публикуемые в “Независимой газеты”, являются математически некорректными. Впрочем, есть много иных претензий к этим методам.  
	Максимальными инвариантами в порядковой шкале являются ранжировки (нестрогие порядки). Поэтому от использования результатов теории измерений менеджеру малой организации естественно перейти к применению других методов статистики объектов нечисловой природы [7-9, 14, 15]. Методы эти весьма многочисленны, их описанию посвящены процитированные выше публикации. Отметим здесь, что нестрогие порядки – частный вид бинарных отношений, для их усреднения рекомендуется использовать медиану Кемени. Она, как известно, является решением оптимизационной задачи, решаемой соответствующими компьютерными методами.  Мы снова приходим к выводу о необходимости постоянного использования менеджерами малой организации современных компьютеров и соответствующего программного обеспечения, прежде всего АРМ МАТЭК.  
6.	Модели жизненного цикла малых предприятий
	Кратко рассмотрим несколько предлагаемых нами новых типов экономико-математических моделей, описывающих развитие малых предприятий и их совокупностей (популяций) в течение их жизненного цикла.
6.1.	Моделирование потока проектов, выполняемых малыми организациями
	При построении математических моделей данного типа будем считать, что малое предприятие ассоциируется с последовательностью выполняемых им проектов. Новые малые предприятия порождаются в соответствии с пуассоновским процессом переменной интенсивности (аналогично потоку заявок в теории массового обслуживания [18]). Каждое новое малое предприятие выполняет вначале один проект, величина (стоимость) и продолжительность которого - случайные величины с заданными (в модели) распределениями.
	Точнее, с учетом известных представлений о жизненном цикле продукции (см., например, [19]) экономический эффект (на единицу времени) от выполнения проекта описывается (случайной) функцией от времени (с отсчетом от момента начала осуществления проекта). Типовой вид этой функции таков: сначала отрицательные значения (вначале необходимы вложения), затем - рост до максимального значения, продолжительное "плато" на достигнутом уровне, затем - спад до 0 (окончание проекта) или отрицательной величины (при необходимости утилизации оборудования и т.п.). Поскольку для осуществления проекта, как правило, необходим начальный капитал, то в модель порождения малых предприятий необходимо внести новую переменную - (случайную) величину начального капитала, которая, в частности, ограничивает круг проектов, возможных для данного малого предприятия. Возможно и разорение малого предприятия, если из-за каких-либо случайных (в смысле теории вероятностей) причин стартовый капитал окажется недостаточным для осуществления проекта. Отметим, что потоки платежей необходимо оценивать путем приведения к сопоставимым ценам, а при этом не обойтись без учета инфляции, изучение и прогнозирование которой встречает известные трудности [11, 20].
	Однако для некоторых видов деятельности, например, оказания научно-технических услуг, можно считать, что экономический эффект (в сопоставимых ценах), заданный описанной выше функцией, имеет простой частный вид - является ступенчатой функцией, равной положительной константе С на  отрезке [0,Т] и 0 вне его (здесь С и Т - случайные величины).
	Поскольку каждый проект рано или поздно заканчивается, малое предприятие, как правило, должно переходить к осуществлению новых проектов еще до окончания жизненного цикла предшествующего проекта. В модели принимаем, что каждый проект порождает своих потомков - новые проекты с определенной интенсивностью. С этой точки зрения малое предприятие - это совокупность проектов, в которую входят: 1) исходный проект (если он еще продолжается); 2) его непосредственные потомки;  3) потомки его потомков, и т.д. Развитие малого предприятия состоит в возникновении, выполнении и прекращении проектов, его образующих. Если все эти проекты прекращаются, то малое предприятие функционально ликвидируется. Аналогом является развитие популяции фамилий, изучаемое с помощью теории ветвящихся процессов [21]. 
	Рассматриваемые модели позволяют, в частности, изучать динамику распределения малых предприятий по размерам и длительности жизни, например, оценивать долю предприятий, прекративших деятельность в течение определенного интервала времени (например, года) после организации. Можно продемонстрировать положительную роль технопарков как "инкубаторов" малых предприятий, влияние экспертизы бизнес-плана и др. - поддержка проектов на начальных стадиях при условии экспертного отсечения малоперспективных проектов существенно повышает вероятность "выживания" и эффективность остальных. 
6.2.	Пример экономико-математической модели потока проектов
	Приведенное выше описание задает достаточно обширное семейство математических моделей. Рассмотрим одну из них. 
	Пусть процесс порождения новых предприятий в регионе описывается пуассоновским процессом с постоянной интенсивностью q. Это означает, что за единицу времени возникает случайное число Х малых предприятий, причем Х имеет пуассоновское распределение с параметром  q. В среднем за единицу времени  возникает q малых предприятий, поскольку математическое ожидание Х равно q. Величина q зависит от числа жителей и уровня социально-экономического развития региона.
	Следующий шаг - моделирование начального капитала и стоимости проекта. При этом в случае, когда стоимость проекта больше начального капитала, то предприятие погибает, не приступив к деятельности. Хорошо известно, что в современной России большое число зарегистрированных малых предприятий (по крайней мере до 30%) не проявляет производственной активности. Тем не менее они зачастую продолжают учитываться в государственной отчетности, поскольку  их владельцы не считают нужным проводить процедуру ликвидации.
	Рассмотрим предприятия с достаточным начальным капиталом. Пусть для простоты экономический эффект при выполнении проекта является ступенчатой функцией, равной положительной константе С на  отрезке [0,Т] и 0 вне его, где С и Т - случайные величины. Далее следует некоторое число формул и модельные расчеты, которые здесь опустим, поскольку основные идеи, лежащие в основе моделирования, уже сформулированы.

6.3.	Модель занятия ниш малыми организациями
	Предположим, что имеется конечный набор "ниш", которые могут занять вновь возникающие организации. В соответствии с некоторым  распределением вероятностей порождаются новые организации (т.е. указываются для них ниши). Если ниша занята, то организация гибнет. Если нет - занимает нишу и функционирует некоторое случайное время, после чего прекращает деятельность и освобождает нишу. Действующее организация может захватывать свободные ниши - на тех же основаниях, что и вновь возникающие организации. Нетрудно получить расчетные формулы для определения числа свободных ниш и вероятности того, что ниша занята, а также для иных характеристик, описывающих развитие популяции малых организаций на основе постоянного поиска и захвата новых рыночных ниш.
6.4.	Модель выбора ниши менеджером малой организации
	Для описания поведения малой организации предлагается использовать модель выбора ниши на основе теории принятия решений с использованием дерева целей. Рассматривая выбор на каждом этапе как случайную величину, получаем возможность расчета распределения малых организаций по вариантам окончательных решений. А это порождает итерационный процесс пересмотра решений, поскольку знание итогового распределения влечет пересмотр некоторых из ранее принятых решений, например, о количестве возможных конкурентов. Модель целесообразно реализовать в виде имитационной компьютерной системы, пригодной также для индивидуального обучения и проведения деловых игр. 
	Интересны варианты модели с использованием  интервальных или нечетких ответов, что делает и итоговое решение интервальным или нечетким. Подробнее про нечеткое дерево целей мы не имеем возможности рассказать здесь.
7.	Заключение
	Проблемам малого предпринимательства посвящено большое число официальных, научных и учебных публикаций, материалов международных и всероссийских конференций (см., например, [22-51]), что объясняется, очевидно, заметным вкладом малых организаций в отечественное производство, а также - что представляется нам более важным - пионерской ролью малых организаций в опробовании различных вариантов упорядочения экономической жизни, взаимодействия государственных и негосударственных структур. Именно малые организации лучше всего демонстрируют роль конкуренции в экономике. Несмотря на всем известные отрицательные примеры, мы считаем возможным, хотя бы в первом приближении, не учитывать в разрабатываемых моделях влияние криминального мира на малые организации, а также их использование, например, для формально законного перекачивания финансовых средств в личных целях.
	 Несмотря на наличие достаточно большого числа публикаций по проблемам малого бизнеса, практически все они не используют какого-либо математического аппарата для анализа рассматриваемой области. На наш взгляд, от первого этапа – непосредственного анализа опыта работы малых организаций – необходимо переходить ко второму – его научному осмыслению на основе экономико-математических моделей. Следует снабдить менеджеров малых организаций набором экономико-математических инструментов для непосредственного постоянного применения. Поэтому мы, в соответствии с пожеланиями участников международной конференции "Большие системы" (председатель заседания проф. К.А. Багриновский),  подготовили на основе  нашего доклада [30] настоящую работу, посвященную попытке рассмотреть достаточно широкий спектр подходов к построению и использованию экономико-математических методов и моделей в малом бизнесе. 
	Как нам представляется, выше продемонстрировано, что экономико-математическое моделирование имеет широкие перспективы практического применения в маркетинге малого бизнеса. Еще более интересные возможности раскрываются в области теоретических исследований проблем малого бизнеса. Совместная работа экономистов, эконометриков, математиков и практикующих менеджеров малого бизнеса принесет пользу как теории, так и практике. 
	Авторы благодарны рецензенту за полезные замечания.
 
 Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Иванова Н.Ю., Орлов А.И. Методология экономико-математического моделирования в маркетинге малого бизнеса // Научные труды Рижского института мировой экономики. Вып.1. - Рига, 1997, с.24-26.
2. Иванова Н.Ю. Малый бизнес за рубежом // Экономика и бизнес. - М.: 1993, с.42-47.
3. Иванова Н.Ю. Малый инновационный бизнес в странах развитой рыночной экономики // Российский экономический журнал, 1995, N 12 .
4. Иванова Н.Ю. Малые формы организации образования в России: проблемы и перспективы.// Наука и технология в России, 1996, N 1(17).
5. Малое инновационное предпринимательство / Под ред. Ивановой Н.Ю.- М.: 1996.
6. Орлов А.И. Сертификация и статистические методы. // Заводская лаборатория, 1997, N 3.
7. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. - М., Наука, 1979.
8. Орлов А.И. Экспертные оценки. // Заводская лаборатория, 1996, т.62, No.1, с.54-60. 
9. Орлов А.И. Статистика объектов нечисловой природы. // Заводская лаборатория, 1990,  т.56, No.3, с.76-83, 1995, т.61, No.3, с.43-52, No.5, с.43-51. 
10. Орлов А.И. Основные идеи интервальной математической статистики // Наука и технология в России, 1994, N 4(6).
11. Иванова Н.Ю., Кольцов В.Г., Орлов А.И. и др. Математическое моделирование процессов налогообложения (подходы к проблеме). - М.: Изд-во Центра элитарного образования Министерства общего и профессионального образования РФ, 1997. -  232 с.
12. Горский В.Г., Моткин Г.А., Орлов А.И. и др. Методологические основы ранжирования и классификации промышленных объектов, подлежащих экологическому страхованию. // Труды Второй Всероссийской конференции "Теория и практика экологического страхования". - М.: Ин-т проблем рынка РАН, 1996, с.7-12. 
13. Орлов А.И., Горский В.Г., Жихарев В.Н., Цупин В.А. и др. Экспертные оценки: современное состояние и перспективы использования в задачах экологического страхования.// Труды Второй Всероссийской конференции "Теория и практика экологического страхования". - М.: Ин-т проблем рынка РАН, 1996, с.20-23. 
14. Орлов А.И. Задачи оптимизации и нечеткие переменные. - М.: Знание, 1980. 
15. Тюрин Ю.Н., Литвак Б.Г., Орлов А.И., Сатаров Г.А., Шмерлинг Д.С. Анализ нечисловой информации. - М.:  Научный Совет АН СССР по комплексной проблеме "Кибернетика", 1981. - 80 с.
16. Психологические измерения. - М.: Мир, 1968.
17. Пфанцагль И. Теория измерений. - М.:  Мир, 1976.
18. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания.  М.: Наука, 1966. - 432 с.
19. Жичкин А.М. Менеджмент. - М.: МГИЭМ, 1993.
20. Орлов А.И. Как использовать индекс инфляции? // Наука и технология в России. 1995. № 9-10 (15-16). С.16-17.
21. Севастьянов Б.А. Ветвящиеся процессы. - М.: Наука,1971. - 436 с.
22. Иванова Н.Ю., Белов И.А. Ресурсный потенциал малого бизнеса.- "Россия сегодня: общество, культура, государство, человек". Тезисы докладов Межвузовской научно-теоретической конференции. - М.: МГИЭМ(ту), 1998. С. 190-191.
23. Иванова Н.Ю. Национальные особенности российского предпринимательства. - "Россия сегодня: общество, культура, государство, человек". Тезисы докладов Межвузовской научно-теоретической конференции. - М.: МГИЭМ(ту), 1998. С. 192-193.
24. Егорова Н.Е. Моделирование малого бизнеса в условиях становления рыночных отношений. - Вестник Российского гуманитарного научного фонда, 1998, № 1, с.84-93.
25. Варев А.М. Метод построения бизнес-инкубатора с использованием элементов фрайчайзинга. - Современный менеджмент в условиях становления рыночной экономики в России. Тезисы докладов Всероссийской научно-практической конференции 28-29 мая 1998 г. - М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1998. С.25-26
26. Вейр П., Мэсон Д. Особенности управления малым бизнесом. - Современный менедэмент в условиях становления рыночной экономики в России. Тезисы докладов Всероссийской научно-практической конференции 28-29 мая 1998 г. - М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1998. С.27-28.
27. Кемарский Ю.В., Кохова Л.В., Бороздина Е.В. Особенности малого бизнеса Ивановской области. - Современный менеджмент в условиях становления рыночной экономики в России. Тезисы докладов Всероссийской научно-практической конференции 28-29 мая 1998 г. - М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1998. С.45-45.
28. Моисеева Н.К. Международные проекты как форма поддержки развития малых предприятий наукоемкого профиля. -  Современный менеджмент в условиях становления рыночной экономики в России. Тезисы докладов Всероссийской научно-практической конференции 28-29 мая 1998 г. - М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1998. С.69-70.
29. Синникова Т.Н., Дагаев А.А. Перспективы венчурного (рискового) финансирования нововведений в переходной экономике. - Современный менеджмент в условиях становления рыночной экономики в России. Тезисы докладов Всероссийской научно-практической конференции 28-29 мая 1998 г. - М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1998. С.95-96
30. Иванова Н.Ю., Орлов А.И. Математическое моделирование развития популяции малых предприятий. - Управление большими системами. Материалы Международной научно-практической конференция (22-26 сентября 1997 г., Москва, Россия). - М.: СИНТЕГ - Ин-т проблем управления РАН, 1997. С.85-85.
31. Бабаева Л.В., Лапина Г.П. Малый бизнес в России в эпоху экономических реформ. – М.: Ин-т социологии РАН, 1997.
32. Блинов А.О., Голаенко И.П. Малый бизнес в России: вчера, сегодня, завтра. – Краснодар, 1996.
33. Малый бизнес в СНГ и Восточной Европе: трудности роста (середина – вторая половина 90-х гг.). – М.: Рос. независимый институт  социальных и национальных проблем, 1997.
34. Малое предпринимательство в России: состояние, проблемы, перспективы (аналитический сборник). – М.: 1999.
35. Малый бизнес в России / Авилова А.В., Алимова Т.А. и др. – М.: КОНСЭКО, 1998.
36. Предприятие в нестабильной экономической среде: риски, стратегии, безопасность. – М.: Экономика, 1997.
37. Стратегии бизнеса. – М.: КОНСЭКО, 1998.
38. Рыбина М.Н. Организационно-экономические условия формирования конкурентоспособного малого предпринимательства. // Менеджмент в России и за рубежом, 1999, № 4. С. 99-111.
39. Система поддержки и развития малого предпринимательства в Москве. – М.: Ин-т экономики РАН, 1998. – 262 с. 
40. Малый бизнес в регионе: тенденции и проблемы развития. – Вологда: ВНКЦ ЦЭМИ РАН, 1998. 
41. Иванова Н.Ю., Орлов А.И. Математическое моделирование малого бизнеса – важная составляющая подготовки специалистов в этой области. – Тезисы докладов международной конференции “Подготовка специалистов в области малого бизнеса в высшей школе”. – М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1999.
42. Орлов А.И. Что нужно знать руководителю малого предприятия (из опыта работы). - Тезисы докладов международной конференции “Подготовка специалистов в области малого бизнеса в высшей школе”. – М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1999.
43. Лапуста М.Г., Старостин Ю.К. Малое предпринимательство. – М.: ИНФРА-М, 1998. – 320 с.
44. Крутик А.Б., Горенбуртов М.Д. Малое предпринимательство и бизнес-коммуникации. Учебное пособие. – СПб.: Бизнес-Пресса, 1998. – 295 с.
45. Смирнов С.А. Малое предпринимательство: общественная поддержка и содействие развитию. – М.: Контур, 1999. – 290 с.
46. Баженов Ю.К., Баженов А.Ю. Малое предпринимательство: практическое руководство по организации и ведению малого бизнеса. – М.: Маркетинг, 1999.- 104 с.
47. Кук К. Дж. Малый бизнес. Маркетинг. – М.: Довгань, 1998. – 108 с.
48. Бревнов А.А. Маркетинг малого предприятия. Практическое пособие. – Киев: ВИРА-Р, 1998. – 384 с. 
49. Штайнхофф Д. Берджес С. Основы управления малым бизнесом. – М.: БИНОМ, 1997. – 496 с.
50. Малое предпринимательство: управление и организация. – М.: ДеКА, 1998. – 376 с.
51. Сирополис Н. К. Управление малым бизнесом. Руководство для предпринимателей. – М,: Дело, 1997. – 672 с.